¡Si, se puede! Existe una manera muy fácil de recuperar archivos antes de que se eliminen completamente de de WhatsApp.
Una de las opciones más sencillas es buscar en la galería de imágenes del celular, ya que por defecto, estas imágenes y videos se descargan en una carpeta especial de Whatsapp.
Otra de las alternativas es buscar todo el material en la copia de seguridad que Android hace en Google Drive, y en iCloud en el caso de los iPhone. Una vez que hayamos verificado si la copia de seguridad se realizó correctamente, desinstalamos WhatsApp y restauramos esa la copia de seguridad anteriormente guardada.
Por último, existe una aplicación que sirve para buscar archivos borrados llamada WhatsRemoved para Android, y Jihosoft para iPhone.